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利用课余时间发现了一个特殊的八元群

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最近本人在B站上了解到有关Klein四元群的相关内容,比如1, 3, 5, 7模8求余的运算,就是这种Klein四元群,还有1, 5, 7, 11模12求余运算,于是我灵机一动,发现了图示的类似Klein四元群的八元群,并且在自然数之中,这个群是自然数之中绝无仅有的Klein八元群,也就是1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23模24求余运算,1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15模16求余运算都不是,因为3×3模16余9而不是1,
那么,我一直在想,这种Klein八元群有什么特殊用途?欢迎小伙伴们留言分享自己的看法


IP属地:山东来自Android客户端1楼2025-02-26 22:41回复
    你这群就是(Z/24Z)ˣ群,其实有这样一个群,叫
    (Z/nZ)ˣ群,属于quotient Z/nZ的一个subset 注意是subset 而不是subgroup ,因为它用二元运算是"乘法",而不是Z/nZ这个循环群的"加法"。


    IP属地:辽宁来自Android客户端2楼2025-02-26 23:24
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      2025-05-15 02:14:42
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      你写的这个群同构于Z₂×Z₂×Z₂也就是是order 2³ elementary abelian group ,而克莱因四元群K₄≌Z₂×Z₂,这就是你觉得像的原因。至于为什么(Z/16Z)ˣ不像克莱因四元群K₄,那是因为
      (Z/16Z)ˣ≌Z₂×Z₄。


      IP属地:辽宁来自Android客户端3楼2025-02-26 23:50
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        大多数数论书中都有Z_n^×的分解


        IP属地:英国来自Android客户端4楼2025-02-27 02:12
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          一个直接推论是, 存在无穷多个素数p满足p/24的小数部分>1/2
          否则假设这样的素数只有有限多个, 设它们的乘积为M, 则M²≡1(mod 24), 24M²-1≡23(mod 24)
          因为13 | M, 所以24M²-1是正整数, 又由(Z/24Z)*的乘法表左上部分可知24M²-1的素因子不可能全都满足p≡1,5,7或11(mod 24), 因此24M²-1总有一个素因子p满足p/24的小数部分大于1/2
          按照假设p | M, 又因为p | 24M²-1, 可得p | 1, 矛盾, 所以假设是不成立的


          IP属地:北京来自Android客户端6楼2025-02-28 08:58
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