仿佛来自虚空——代数几何教皇Grothendieck的故事(转

前言：本文是Notices2004年10月和11月份Allyn Jackson关于Alexandre Grothendieck文章的翻译。

仿佛来自虚空(1)
　　每一门科学，当我们不是将它作为能力和统治力的工具，而是作为我们人类世代以来努力追求的对知识的冒险历程，不是别的，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或多或少，巨大而又丰富：在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。
　　——《收获与播种》，第20页
自虚空。

　　对象间的 用密歇根大学海曼－巴斯的话来说，格洛腾迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。如今这种观点已经如此深入吸收到数学研究里面，以至于对新来的研究者来说，很难想象以前并不是这样的。格洛腾迪克留下最深印迹的是代数几何学，在其中他强调通过发现数学 联系来理解数学对象本身。他具有一种极其强大、几乎就是来自另外一个世界的抽象能力，让他能够从非常普适的高度来看待问题，而且他使用这种能力又是完美无缺的精确。事实上，从二十世纪中叶开始，在整个数学领域里不断加深的一般化和抽象化的潮流，在很大程度上归功于格洛腾迪克。同时，那些为一般化而一般化，以至于去研究一些毫无意义或者没有意思的数学问题，是他从来不感兴趣的。

　格洛腾迪克在二次世界大战期间的早期生活充满混乱和伤害，并且他的教育背景并不是最好的。他如何从这样缺乏足够教育的开始脱颖而出，成为世界上的领袖数学家之一，是一出精彩的戏剧——同样，在1970年，正当他最伟大的成就在数学研究领域开花结果，而且数学研究正深受他非凡个性影响的时候，他突然离开了数学研究，也是富有戏剧性。

　　早期生活
　　对于我来说，我们高中数学课本最令人不满意的地方，是缺乏对长度、面积和体积的严格定义。我许诺自己，当我有机会的时候，我一定得填补这个不足。
　　——《收获与播种》，第3页
　　2003年八月以八十岁高龄过世的普林斯顿高等研究院的阿曼德－波莱尔回忆起他在1949年11月在巴黎一次布尔巴基讨论班上第一次见到格洛腾迪克的情形。在讲座的空歇时间，当时二十多岁的波莱尔正与时年45岁，法国数学界那时的一位领袖人物查尔斯－爱尔斯曼聊天。波莱尔回忆说，此时一个年轻人走到爱尔斯曼面前，不作任何介绍，当头就问：“你是拓扑群方面的专家吗？”为了显示自己的谦虚，爱尔斯曼回答说是的，他知道一点点关于拓扑群的知识。年轻人坚持说：“可我需要一个真正的专家！”这就是亚历山大－格洛腾迪克，时年21岁——性急，热情，确切说不是无礼，但对社交礼仪差不多一无所知。波莱尔记得格洛腾迪克当时问了一个问题:每个局部拓扑群是否是整体拓扑群的芽？波莱尔自己恰好知道一个反例。这个问题表明格洛腾迪克那个时候就已经考虑用很普适的观点还考虑问题了。
　　1940年代末在巴黎度过的时期是格洛腾迪克首次和数学研究世界的真正接触。在此之前，他的生活——至少就我们所知道的情况而言——几乎没有什么可以预示他注定成为这个世界一位具统治地位的人物。大多关于格洛腾迪克的家庭背景和早期生活的情节都是粗略或者未知的。穆斯特大学的温弗雷德－沙劳正在撰写一部格洛腾迪克的传记，因而对他的这段历史作了详细研究。下面我对格洛腾迪克生平的简略描述的大部分信息来自于对沙劳的一次访谈或者来自于他收集的关于格洛腾迪克生平的资料。

目前我们并不确切知道当格洛腾迪克在汉堡的时候，他的父母干了些什么的细节，但可以肯定他们政治上仍然很活跃。他们跑到西班牙参加了西班牙内战，当佛朗哥获胜后又逃回法国。由于他们的政治活动，汉卡和她的丈夫在法国被当作危险的外国人。格洛腾迪克回到他们身边不久，沙皮诺就被送入Le Vernet的国际集中营，此地是所有法国集中营中最糟糕的。很可能从那以后他再也没有看到他的妻子和儿子了。1942年8月，他被法国政府驱逐到奥斯维辛，在那里他被杀害。麦娣那段时期如何度过我们并不清楚，但最终她和一位美国士兵结婚，并移居美国；她于几年前过世。

　　1941年汉卡和她的儿子被送入Mende附近Rieucros的战俘收容所。就战俘收容所而言，Rieucros的这个算比较好的，格洛腾迪克被允许到Mende去读高中。然而，这种生活被剥夺了自由，又很不确定。他告诉巴姆比说，他和他母亲时常被那些不知道汉卡是反对纳粹的法国人故意躲开。有一次他从收容所跑了出去，想去刺杀希特勒，但他很快就被抓获，送了回来。“这很可能让他丢了性命的”，巴姆比说。格洛腾迪克一生以来都很强壮，是一个很优秀的拳击手，他将此归功于这段时期，因为他常常是被伏击的对象。2年后，母子俩又分开了：汉卡被送到另一个战俘收容所，而她的儿子则最终送到小镇Chambon－sur－Lignon。安德烈－特洛克姆，一位新教徒牧师，将这个山区休假胜地Chambon镇变成了反抗纳粹占领的据点和犹太人及其他被战争危及生命的人们的避难所。在那里格洛腾迪克被送到由一个瑞士组织成立的儿童之家。他在Chambon镇专门为年轻人的教育而设立的Cevenol学院上学并得到业士学位（即通过中学毕业会考）。Chambon人的英雄行为给了逃难者安全，但是生活却是很不稳定的。在《收获与播种》里，格洛腾迪克提到当时周期性的抓捕犹太人的行动迫使他和其他同学在森林里躲藏好几天（第2页）。
　　在此书中，他也提到些对Mende和Chambon上学情况的回忆。很显然，尽管少年时遇到的诸多困难和混乱，他从很小的时候起就有很强的内在理解能力。在他的数学课上，他不需要老师的提示就能区分什么东西是深层的、什么是表面的，什么是正确的、什么是错误的。他发现课本上的数学问题老是重复，而且经常和那些可以赋予它意义的东西隔离开。“这是这本书的问题，不是我的问题”，他写道。当有问题引起他注意时，他就完全忘我的投入到问题中去，以至于忘记时间（第3页）。

仿佛来自虚空（3）
从蒙彼利尔到巴黎到南锡
　　我的微积分老师舒拉先生向我保证说数学上最后一个问题已经在二三十年前就被一个叫勒贝格的人解决了。确切地说，他发展了一套测度和积分的理论（真是很令人惊讶的巧合！），而这就是数学的终点。
《收获与播种》，第4页
　　1945年5月欧战结束的时候，亚历山大－格洛腾迪克17岁。他和母亲居住在一蒙彼利尔郊外盛产葡萄地区的一个叫Maisargues的村子里。他在蒙彼利尔大学上学，母子俩靠他的奖学金和葡萄收获季节打零工来生活；他母亲也做些清扫房屋的工作。不久以后他呆在课堂的时间就越来越少，因为他发现老师全是照本宣科。根据让－丢多涅的话来说，那是的蒙彼利尔是"法国大学里面教授数学最落后的地区之一"。

在这种不那么令人激昂的环境下，格洛腾迪克将他在蒙彼利尔三年的大部分时间放在弥补他曾经觉察到的高中教科书上的缺陷，即给出令人满意的长度、面积和体积的定义。完全靠自己的努力，他实际上重新发现了测度论和勒贝格积分的概念。这个小故事可以说是格洛腾迪克和阿尔伯特－爱因斯坦两个人生平中几条平行线之一：年轻的爱因斯坦根据自己的想法发展了统计物理理论，后来他才知道这已经由约舒亚－维拉德－吉布斯发现了！
　　1948年，在蒙彼利尔完成理学学士课程后，格洛腾迪克来到了巴黎，法国数学的主要中心。1995年，在一篇发表于一法文杂志上关于格洛腾迪克的文章中，一位名叫安德烈－马格尼尔的法国教育官员回忆起格洛腾迪克的去巴黎求学的奖学金申请。马格尼尔让他说明一下在蒙彼利尔干了些什么。"我大吃一惊，"文章引用马格尼尔的话说，"本来我以为20分钟会面就足够了，结果他不停的讲了两个小时，向我解释他如何利用'现有的工具'，重新构造前人花了数十年时间构建的理论。他显示出来非凡的聪慧。"马格尼尔接着说："格洛腾迪克给了我这样的印象：他是一位才气惊人的年青人，但是所受的苦痛和自由被剥夺的经历让他的发展很不均衡。"马格尼尔立刻推荐格洛腾迪克得到这个奖学金。

格洛腾迪克在蒙彼利尔的数学老师，舒拉先生推荐他到巴黎去找他以前的老师嘉当。不过到底是父亲，时年快八十的埃里－嘉当，还是他的儿子，四十多岁的亨利－嘉当，格洛腾迪克并不知道（《收获与播种》，第19页）。在1948年秋天到达巴黎后，他给那里的数学家看在蒙彼利尔自己做的工作。正如舒拉所说，那些结果已经为人所知，不过格洛腾迪克并不觉得沮丧。事实上，这段早期孤独一人的努力可能对他成为数学家起了至关重要的作用。在《收获与播种》中，格洛腾迪克谈到这段时期时说："在根本不知情的情况下，我在孤独工作中学会了成为数学家的要素--这些没有一位老师能够真正教给学生的。不用别人告诉我，然而我却从内心就知道我是一位数学家：也就是说，完全从字面上理解，"做数学的人就好像人们'做'爱一样。"
　　他开始参加亨利－嘉当在高等师范学校开设的传奇性的讨论班。这个讨论班采用了一种格洛腾迪克在以后的职业生涯更严格化的模式：每一年所有的讨论围绕一个选定的主题进行，讲稿要系统的整理出来并最终出版。1948－1949年嘉当讨论班的主题是单形代数拓扑和层论--当时数学的前沿课题，还没有在法国其他地方讲授过。事实上，那时离让－勒雷(Jean Leray)最初构想层的概念并没有多久。在嘉当讨论班上，格洛腾迪克第一次见到了许多当时数学界的风云人物，包括克劳德－夏瓦雷(Claude Chevalley)，让－德尔萨(Jean Delsarte)，让－丢多涅(Jean Dieudonne)，罗杰－苟德曼(Roger Godement)，洛朗－施瓦兹(Laurent Schwartz)和安德烈－韦依(Andre Weil)。其时嘉当的学生有让－皮埃尔－塞尔(Jean-Pierre Serre)。参加嘉当讨论班以外，他还去法兰西学院听勒雷开设的一门介绍当时很新潮的局部凸空间理论的课程。

　作为几何学家埃里－嘉当的儿子，自己本人又是一位杰出的数学家，并且又是巴黎高师的教授，从多个方面来看亨利－嘉当都是巴黎精英数学家的中心。而且他还是战后少数几位努力创造条件与德国同行们交流的法国数学家之一，尽管他自己很清楚战争带给的惨痛：他的弟弟参加了抵抗德国占领的地下运动，结果被德国人抓获并斩首。嘉当和当时的许多一流数学家--比如爱尔斯曼，勒雷，夏瓦雷，德尔萨，丢多涅和韦依--都有一个共同的背景，他们是"高师人"，即为法国高等教育的最高学府巴黎高等师范学校的毕业生。
　　当格洛腾迪克加入嘉当讨论班的时候，他还是个外来人：这不仅仅是说他居住在战后法国而又讲德语，而且因为他与其他参加者比较起来显得特别贫乏的教育背景。然而在《收获与播种》里，格洛腾迪克说他并不觉得象是圈子里面的陌生人，并且叙述了他对在那受到的"善意的欢迎"的美好回忆（第19－20页）。他的坦率直言很快就引起大家的注意：在给嘉当100岁生日的颂词中，Jean Cerf回忆说，当时在嘉当讨论班上看到"一个陌生人（即格洛腾迪克），此人从屋子后部随意向嘉当发话，就如同和他平起平坐一样"。格洛腾迪克问问题从不受拘束，然而，他在书上写道，他也发现自己很难明白新的东西，而坐在他旁边的人似乎很快就掌握了，就象"他们从摇篮里就懂一样"（第6页）。这可能是其中一个原因，促使他在嘉当和韦依的建议下，于1949年10月离开巴黎的高雅氛围去了节奏缓慢的南锡。另外，如丢多涅所言，格洛腾迪克那时候对拓扑线性空间比对代数几何更感兴趣，因此他去南锡恰当不过了。

仿佛来自虚空（4）
　　南锡的学习生涯
　　（我在这里受到的）欢迎弥漫开来…从1949年首次来到南锡的时候我就受到这样的欢迎，不管是在Laurent和Helene Schwartz的家（那儿我就好像是一个家庭成员一样），还是在Dieudonne的或者Godement的家（那里也是我经常出没的地方之一）。在我初次步入数学殿堂就包容在这样挚爱的温暖中，这种温暖虽然我有时易于忘记，对我整个数学家生涯非常重要。
《收获与播种》，第42页
　　1940年后期，南锡是法国最强的数学中心之一；事实上，虚构人物尼古拉－布尔巴基据说是“Nancago大学”的教授，就是指在芝加哥大学的韦依和在南锡大学的他的布尔巴基同伴。此时南锡的教员包括德尔萨，Godement，Dieudonne和Schwartz。格洛腾迪克的同学包括Jacques－Louis Lions和Bernard Malgrange，他们和格洛腾迪克一样均是Schwartz的学生；以及Paulo Ribenboim，时年20岁，差不多与格洛腾迪克同时来到南锡的巴西人。

　　根据现在是（加拿大）安大略省Queens大学名誉教授Ribenboim的话来说，南锡的节奏不象巴黎那么紧张，教授们也有更多时间来指导学生。Ribenboim说他感觉格洛腾迪克来到南锡的原因是因为他基础知识缺乏以致很难跟上Cartan的高强度讨论班。这不是格洛腾迪克出来承认的，“他不是那种会承认自己也会不懂的人！”Ribenboim评论说。然而，格洛腾迪克的超凡才能是显而易见的，Ribenboim记得自己当时将他作为完美化身来景仰。
　　格洛腾迪克可能会变得非常极端，有时候表现得不太厚道。Ribenboim回忆说：“他不是什么卑鄙的人，只是他对自己和别人都要求很苛刻.”格洛腾迪克只有很少几本书；他不是从读书中去学习新的知识，而宁愿自己去重新建构这些知识。而且他工作得很刻苦。Ribenboim还记得Schwartz告诉他：你看上去是个很友善、均衡发展的年轻人；你应该和格洛腾迪克交个朋友，一起出去玩玩，这样他就不会整天工作了。

　　其时Dieudonne和Schwartz在南锡开设了关于拓扑线性空间的讨论班。如Dieudonne在[D1]所说，那时候Banach空间及其对偶已经理解得很清楚了，不过局部凸空间的概念当时刚刚引入，而关于他们的对偶的一般理论还没有建立起来。在这个领域工作一段时间后，他和Schwartz遇到了一系列的问题，他们决定将这些问题交给格洛腾迪克。数月之后，他们大吃一惊地得知格洛腾迪克已经将所有的问题都解决了，并在继续研究泛函分析的其他问题。“1953年，应当给予他博士学位的时候，有必要在他写的六篇文章中选取一篇做博士论文，可每一篇都有好的博士论文的水准，”丢多涅写道。最后选定作为论文的是“拓扑张量积和核空间”，这篇文章显示出他的一般性思考的初次征兆，而这将刻划格洛腾迪克的整个数学生涯。核空间的概念，在目前已经得到了广泛应用，就是首先在这篇文章里面提出的。Schwartz在巴黎一次讨论班上宣传了格洛腾迪克的结果,其讲稿“格洛腾迪克的张量空间”发表于1954年[Schwartz]。此外，格洛腾迪克的论文作为专著1955年在美国数学会的Memoir系列出版；此书[GThesis]在1990年第七次重印。
　　格洛腾迪克在泛函分析方面的工作“相当出色”，加州大学洛山矶分校的Edwards E. Effors评论说。“他可能是第一个意识到二战后迅猛发展的代数和范畴工具可以用来研究如此高度解析的数学分支泛函分析的人了。”从某些方面来说，格洛腾迪克走在他的时代的前面，Effors注意到至少花了15年时间，格洛腾迪克的工作才结合到主流的Banach空间理论中去，这其中部分原因是大家对采用他的更代数的观点不积极。Effors还说道，近年来由于Banach空间理论的“量子化”，而格洛腾迪克的范畴论的方法特别适用于这种情况，他的工作的影响进一步得到加强。